[2017년 덕이고]

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[2학년 1학기 중간 미적분1]

급수 [eqn: sum_n=1 ^inf {2^n -1}over3^n]의 합은? [3.4점]

③

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3over2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5over2]

수열 [eqn: left{a_n right]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식
[eqn: 7^n+1 -3^n <(3^n+1 +7^n )a_n <3^n +7^n+1]
이 성립할 때, [eqn: lim_n->inf a_n]의 값은? [3.5점]

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

함수 [eqn: f(x)=x^2 +4x+4]에 대하여 [eqn: f`'(-1)]의 값은? [3.6점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: lim_n->inf a_n =7], [eqn: lim_n->inf b_n =2]일 때, [eqn: lim_n->inf (a_n -2b_n )]의 값은? [3.7점]

④

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

[eqn: lim_x->-1 {x^3 -x^2 -x+1}over{x^2 -1]의 값은? [3.8점]

②

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

급수 [eqn: sum _n=1 ^inf 2over{4n^2 -1]의 합은? [3.9점]

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

등비수열 [eqn: left{(x^2 +x) left( x-2over2 right)^n-1 right]이 수렴하도록 하는 모든 정수 [eqn: x]의 개수는? [4.0점]

⑤

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

두 함수 [eqn: f(x)=x^3 -2], [eqn: g(x)=x^2 -2x+2]에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수를 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.0점]

①

ㄱ. [eqn: 2f(x)+3g(x)]	ㄴ. [eqn: 2f(x)g(x)+3]

ㄷ. [eqn: 2f(x)overg(x)-3]	ㄹ. [eqn: g(x)+3over2f(x)]

① ㄱ, ㄴ	② ㄱ, ㄷ	③ ㄱ, ㄴ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ, ㄹ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ

[eqn: f(x)=sum_k=1^12 kx^k]에 대하여 [eqn: f` prime (1)]의 값은? [4.1점]

⑤

① [eqn: 330]	② [eqn: 410]	③ [eqn: 490]

④ [eqn: 570]	⑤ [eqn: 650]

순환소수 [eqn: 0.2 dot{0} 1 dot{7}]의 소수점 아래 첫째 자리 숫자를 [eqn: a_1], 둘째 자리 숫자를 [eqn: a_2], 셋째 자리 숫자를 [eqn: a_3], [eqn: cdots]이라고 할 때, 수열 [eqn: left{a_n right]에 대하여 [eqn: sum_n=1^inf a_n over2^n]의 값은? [4.2점]

⑤

① [eqn: 11over14]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 17over14]

④ [eqn: 10over7]	⑤ [eqn: 23over14]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 다음과 같고, [eqn: g(x)=cases{ |x|&(x<1)#{-x&(x ge1 )]일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4.3점]

③

ㄱ. [eqn: lim_x->1 f(x)g(x)=1]

ㄴ. [eqn: lim_x->-1- (g circf)(x)=1]

ㄷ. [eqn: lim_x->-1- (f circg)(x)=1]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)=cases{x^3 +ax-14&(x<1)#bx^2 +x-13 &(x ge1)]이 [eqn: x=1]에서 미분가능할 때,
[eqn: lim_x->2- (f circf)(x)]의 값은? [4.4점]

⑤

① [eqn: -13]	② [eqn: -12]	③ [eqn: -11]

④ [eqn: -10]	⑤ [eqn: -9]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1 D_1]의 내부에 각 변의 중점을 잡아 중심이 각 모서리에 있는 부채꼴을 네 개 그린 다음, 네 개의 부채꼴의 호에 각 꼭짓점이 맞닿는 정사각형 [eqn: rmA_2 B_2 C_2 D_2]를 그린다. 이와 같은 방법으로 부채꼴과 정사각형을 한 없이 그릴 때, 색칠한 부분의 넓이의 합은? [4.5점]

①

① [eqn: {4root2 +2}over7 pi]	② [eqn: {4root2 +3}over7 pi]	③ [eqn: {5root2 +3}over7 pi]

④ [eqn: {5root2 +4}over7 pi]	⑤ [eqn: {6root2 +4 }over7 pi]

함수 [eqn: f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)cdots(x-10)]에 대하여 [eqn: {f` prime (2)} over {f` prime (8)}]의 값은? [4.6점]

③

① [eqn: 0]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

함수 [eqn: f(x)=(x+1)(x^2 -x+1)]에 대하여 [eqn: lim_x->1 {f(x^2 )-x^2 f(1)}over1-x]의 값은? [4.6점]

①

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

한 변의 길이가 [eqn: n]인 정삼각형의 각 변을 [eqn: n]등분한 점들을 각 변에 평행한 선분으로 모두 이을 때, 삼각형과 그 내부에 그어진 모든 선분의 길이의 합을 [eqn: a_n]이라고 하자. 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정삼각형의 개수를 [eqn: b_n]이라고 할 때, [eqn: lim_n->inf b_n overa_n]의 값은? [4.7점]

④

① [eqn: 1over6]	② [eqn: 1over3]	③ [eqn: 1over2]

④ [eqn: 2over3]	⑤ [eqn: 5over6]

[그림1]과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정육각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1]에 내접하는 원 [eqn: O_1]이 있다. 정육각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1]의 내부이면서 원 [eqn: O_1]의 외부에 속한 부분의 넓이를 [eqn: I_1]이라 하자. [그림2]와 같이 정육각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1]과 [eqn: O_1]이 접하는 점들을 연결하여 원 [eqn: O_1]의 내부에 정육각형 [eqn: rmP_1 Q_1 R_1 S_1 T_1 U_1]을 그리고 [eqn: BAR {RMP_1 Q_1], [eqn: BAR{RMQ_1 R_1], [eqn: CDOTS], [eqn: BAR{RMU_1 P_1]을 각각 [eqn: 2:3]으로 내분하는 점들을 연결하여 만든 정육각형을 [eqn: rmA_2 B_2 C_2 D_2 E_2 F_2], 정육각형 [eqn: rmA_2 B_2 C_2 D_2 E_2 F_2]와 이에 내접하는 원을 [eqn: O_2]라 할 때, 정육각형 [eqn: rmA_2 B_2 C_2 D_2 E_2 F_2]의 내부이면서 원 [eqn: O_2]의 외부에 속한 부분의 넓이를 [eqn: I_2]라 하자. [그림3]과 같이 정육각형 [eqn: rmA_2 B_2 C_2 D_2 E_2 F_2]과 [eqn: O_2]가 접하는 점들을 연결하여 원 [eqn: O_2]의 내부에 정육각형 [eqn: rmP_2 Q_2 R_2 S_2 T_2 U_2]을 그리고 [eqn: BAR {RMP_2 Q_2], [eqn: BAR{RMQ_2 R_2], [eqn: CDOTS], [eqn: BAR{RMU_2 P_2]을 각각 [eqn: 2:3]으로 내분하는 점들을 연결하여 만든 정육각형을 [eqn: rmA_3 B_3 C_3 D_3 E_3 F_3], 정육각형 [eqn: rmA_3 B_3 C_3 D_3 E_3 F_3]와 이에 내접하는 원을 [eqn: O_3]라 할 때, 정육각형 [eqn: rmA_3 B_3 C_3 D_3 E_3 F_3]의 내부이면서 원 [eqn: O_3]의 외부에 속한 부분의 넓이를 [eqn: I_3]라 하자. 이와 같은 과정을 반복하여 [eqn: n]번째에 만들어지는 넓이를 [eqn: I_n]이라 할 때, [eqn: sum_n=1 ^inf {I}_n]의 값은? [4.7점]

⑤

① [eqn: 100over43 (2root3 -pi)]	② [eqn: 100over43 (3root3 -pi)]	③ [eqn: 200over43 (2root3 -pi)]

④ [eqn: 200over43 (3root3 -pi)]	⑤ [eqn: 300over43 (2root3 -pi)]

서술형

다항함수 [eqn: f(x)]가 다음 두 조건을 모두 만족할 때, [eqn: f(5)]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [6.0점]

[eqn: 81]

(가) [eqn: lim_x->inf f(x)over{x^2 -4x+3} =2]

(나) [eqn: lim_x->-1 {f(x)-3}overx+1 =1]

두 함수 [eqn: f(x)=x^4 -9x+3], [eqn: g(x)=x^3 +2]에 대하여 [eqn: f(x)=g(x)]를 만족하는 실수가 열린 구간 [eqn: (1,```3)]에 적어도 하나 존재함을 보이시오. [6.0점]

[eqn: f(1)f(3)<0]

두 함수 [eqn: f(x)=lim_n->inf {x^n+1 +ax-a^2 +2}over{x^n -2], [eqn: g(x)=[x^2 -1]]에 대하여, 함수 [eqn: f(x)g(x)]가 [eqn: x=1]에서 연속이 되도록 하는 모든 [eqn: a]의 합을 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [8.0점]

[eqn: 1]

수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_1 =1], [eqn: a_2 =2]이고,
[eqn: n ^{2} a _{n+1} -a _{n+1} -n ^{2} a _{n} =1```(n GEQ 2)]일 때, 수열 [eqn: left{a_n right]의 일반항과 [eqn: lim_n->inf a_n]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [10.0점]

[eqn: a _{n} = {cases{1&(n=1)#{5n-6} over {n}&(n ge2)}}], [eqn: lim_n->inf a_n =5]

[2017년 덕이고]

[2학년 1학기 중간 미적분1]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com